книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

Уравнения (б.Зб)-(б.ЗЭ) совпадают формально с соответствующи­ ми уравнениями при изотермическом деформировании (6.3), (6.7), (6.4) и (6.5). Разница между ними заключается лишь в том, что в уравнениях (6.36)-(6.39) «силовые» входные данные помечены звездочкой, причем

р1? = рД -	(6.40)
= у . + а-’ )д-;*{а0}п*|29,	(6.41)
5?° = 5? + * 0 {а*}п ,Ы а.	(6.42)

Заметим, что если изотропная среда является несжимаемой, то мы получаем вместо уравнений (б.ЗО)-(б.ЗЗ) следующие:

ри-	= рЕ{ + «о,; {«, Т } - р,.,	(6.43)
*» « {« .Т ) ~ Р,* + рРг = 0,		(6.44)
[аО?Ч *{«> т) пь +	*) + а(Ур(х, 1)п, |2, ,	(6.45)
«(1=! = «®0М);	«ч {« ,Г } вуЫ» = $?(*>*) + р (5,<)«.-|е»,	(6.46)
	«М = 0,	(6.47)

где добавляется лишняя неизвестная функция р(х, <) и одно кине­ матическое уравнение (6.47).

§ 7. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ М ДТТ
Рассмотрим статическую (квазистатичекую) задачу	М ДТТ,
т.е. уравнения равновесия (6.7)
*<ы {2} + РЯ = 0	(7.1)
и граничные условия частного вида.(6.5)
= 0, ^ {3 }п ,| 2г = 5?(2,*).	(7-2)

Как следует из замечания, сделанного в конце предыдущего па­ раграфа, к задаче (7.1), (7.2) иногда сводится и соответствующая несвязанная задача термомеханики.

Помножим уравнение (7.1) на некий вектор »<(*), удовлетворя­ ющий нулевым кинематическим граничным условиям (7.2), и про­ интегрируем по объему V. Применив формулу ОстроградскогоГаусса и воспользовавшись условиями (7.2), получим

I *ц{Ъ}ец(г>)<1У = I рР<щАУ + { 5?ы <П1.

(7.3)

V V

Очевидно, правая часть (7.3) представляет собой работу внешних сил на перемещении V,- (§ 2):

А (е\ ь ) = У РР т (IV + У 5>,- оЕ.

(7.4)

ке2

Предположим, что оператор ^ является потенциальным (3.22):

? = ^{е} = -^-.

(7.5)

Здесь РУ{е} называется потенциалом деформации. Воспользуем­ ся определением дифференциала оператора Т и функциональной производной (3.13). Тогда

{е,,(2), «г,у(«?)> = 0 №{м,»} = ^{м}б,Д«).

(7.6)

Определим оператор потенциальной энергии деформации ф по формуле

ф = У № {е}(1 У .

(7.7)

Тогда, очевидно, соотношение (7.3) можно записать в следую­ щем виде:

О ф {й ,Щ - А (е\Ъ) = 0.

(7.8)

Итак, с каждой задачей (7.1), (7.2) связаны равенства (7.3) или (7.8) для произвольного дифференцируемого векторного поля 15(5), удовлетворяющего условию

Щ Ы .= 0.

(7.9)

Заметим, что в уравнения (7.1) входят вторые производные по ко­ ординатам вектора и, поэтому решение задачи (7.1), (7.2), должно быть по крайней мере дважды дифференцируемым.

Можно отказаться от этого требования и понимать решение задачи (7.1), (7.2) в обобщенном смысле. А именно, назовем й обобщенным решением задачи (7.1), (7.2), если для всякого диф­ ференцируемого вектора Й(5), удовлетворяющего условию (7.9), справедливо тождество (7.3) или (7.8). От входных данных тре­ буется лишь условие существования интегралов в правой части

(7.3). Заметим, что обобщенное решение будет классическим, если оно является дважды непрерывно дифференцируемым.

Упражнение 7.1. Доказать, что если оператор IV является квадратичным (3.16), то справедливо соотношение

^ «Гусу ЛУ = 2ф.

(7.10)

Упражнение 7.2. Доказать, что если оператор V/ является однородным т-й степени, то справедливо соотношение

	^ (Гу еу йУ = тф.		(7.11)
Упражнение 7.3. С помощью представления функции
	/(О = ф{щ + *(й 2 - й 1)},		(7.12)
дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке 0 ^			^ 1 и
допускающей на этом отрезке представление
/(1) = /(0) + /'(0) + |г(ч); 0 < п < 1 ,			(7.13)
доказать тождество
ф{и2) = 0{«1} + ^ *у {«1}[еу(32) - Су(«х)] йУ+
	V
+ 2 /	+	~ Й1М е*'(32) "
	х [еу(«2)-	*у(«1)]<*У-	(7.14)

Упражнение 7.4. С помощью той же функции (7.12) доказать тождество

Ф{«2} =^{«1} + Л(е)(«2 - «1)+

+ 2 ! [ & ^ 31 + - “1)}(е«(«г) - еы(“1))| х

х (%•(«2) - еу(«х)] ЛУ.

(7.15)

Упражнение 7.5. Показать, что в случае потенциального опе­ ратора Т работа внутренних сил выражается формулой

А ®

(7.16)

причем изменение работы внутренних сил (2.17) является полным дифференциалом от выражения (716).

Упражнение 7.6. Показать, что в случае потенциального опе­ ратора Т и потенциальности массовых и поверхностных сил (2.2 1) и (2 .22) из теоремы живых сил (2.18)

АЕ = АА<•> + АА&	(7.17)
следует, что
С = Е - Л(е) + <р = сопв!. ■	(7.18)

Оператор С называется лагранжианом системы, а системы, для которых он имеет постоянное значение, — консервативными.

Умножим уравнения движения сплошной среды (2.9) на не­ который произвольный вектор проинтегрируем результат по объему V и применим теорему Остроградского-Гаусса. Тогда мы получим следующее тождество:

у	рщу(АУ = у	р Е м АУ + у	АЕ + I <ГцП]Ьг АЕ — ^ <г^ец АУ.
V	V	Е!	Е*	V

(7.19) Это тождество справедливо для любой сплошной среды, так как мы не пользовались определяющими соотношениями.

Положим теперь в этом тождестве » = й и воспользуемся граничными условиями (6.5):

[ ри-щ А У = у		РР{щ АУ + у	3 ? щ А Е + [	пу«® АЕ — ^	АУ.
V	V	Е2	Е ,	V

(7.20) Предположим теперь, что массовые и поверхностные силы, фигу­ рирующие в (2.9) и (6.5), а следовательно и в (7.20), обладают потенциалом (или просто не зависят от перемещений). Тогда первые два слагаемых правой части (7.20) представляют собой работу внешних сил (7.4) на перемещениях щ . Третье слагаемое называется работой внутренних сил на заданном перемещении и®:

Е !

Интеграл в левой части (7.20) представляет	собой работу сил
Д ’Аламбера, или инерционных сил:
А е = ^ ри-щЗУ.	(7.22)
V

Упражнение 7.7. Показать, что изменение сил Д ’Аламбера совпадает с изменением кинетической энергии (2.14):

<1Ае = <1Е = ^ ри{ Зщ ЗУ. ■

(7.23)

V

Если оператор Т является потенциальным, причем 1Й{е} ■— одно­ родный оператор степени т, то из (7.20) следует так называемая теорема о работе:

Ае — А ^ - тф + Ае , •

(7 24)

Если силы инерции отсутствуют, кинематические граничные ус­ ловия нулевые и оператор Й^{е} квадратичный, то из (7.24) сле­ дует теорема Клапейрона

А ^ = 2ф.		(7.25)
Рассмотрим теперь статическую (квазистатическую) задачу
М ДТТ. Пусть заданы уравнения равновесия
+ РР* =	°.	(7.26)
соотношения Коши
1,		(7.27)
е»3 — 2
и определяющие соотношения
дШ {е}		(7.28)
<т1; — (?) —	д а .
Пусть, кроме того, заданы граничные условия
и* 12,= и?,		(7.297)
п3 Ы2= 5?-		(7.29")

Нетрудно видеть, что соотношения (7.26)-(7.29) описывают поста­ новку статической (квазистатической) задачи в перемещениях.

Кинематической системой назовем произвольное непрерывно дифференцируемое векторное поле 5(2), а статической системой — произвольное тензорное поле <т(х) (необязательно удовлетворяю­ щее условиям совместности). Кинематически допустимой называ­ ется кинематическая система, удовлетворяющая кинематическим граничным условиям (7-29/). Статически допустимой называется статическая система, удовлетворяющая уравнениям равновесия (7.26) и статическим граничным условиям (7.29п ). Действитель­ ной кинематической системой 5(2) И действительной статической системой <т(х) называются соответственно вектор перемещения и тензор напряжения, удовлетворяющие всем соотношениям (7.26)- (7.29).

Построим теперь лагранжиан для задачи (7.26)-(7.29):

С = ф -А ^ \	(7.30)
где слагаемые в правой части определяются	формулами (7.7)
и (7.4)

Вариационный принцип Лагранжа (теорема Лагранжа) заклю­ чается в следующем.Из всех кинематически допустимых систем действительная система отличается тем, что для нее и только для

нее лагранжиан (7.30) имеет стационарное значение, т.е.
0<С{5,«5} = 0,	(7.31)

или, если использовать определение дифференциала оператора

(3.13) и соотношение	(7.28),
/	а / = / рРгбщ (IV + ^ 5?6щ <Е,		(7.32)
V	V	Е ,
где считается справедливым (7.27):
Ь*И = |[(*«.Ъ + ( Ч		).«]•	(7-33)

Под 6щ манено понимать разность между двумя кинематически допустимыми системами.

Необходимость требования (7.31) вытекает сразу же из тож­ дества (7.19), в котором следует положить

Чтобы доказать достаточность, подставим (7.33) в (7.32), восполь­ зуемся теоремой Остроградского-Гаусса и учтем, что

	$и,-Ь,= 0.		(7.35)
Тогда получим
У К	, ; + РЪ)6щ Ы = 1	- 5?)М <ЙЗ,	(7.36)
и	е 2

откуда в силу произвольности 6щ следует (7.26) и (7.29/7).

Итак, при формулировке вариационного принципа Лагранжа (7.30), (7.31) мы требуем выполнения соотношений Коши (7.27) и кинематических граничных условий (7.29/), а из условий стацио­ нарности (7.31) следуют уравнения равновесия (7.26) и статичес­ кие граничные условия (7.29//).

Введем теперь понятие преобразования Лежандра для опера­ торов. Прежде всего напомним, что дифференцируемой функции

/(х):
# = ХЛх, X = $ - ,	(7.37)
ах

обычное преобразование Лежандра ставит в соответствие функ­ цию Р{Х ), такую, что

АР = хАХ.	(7.38)
При этом выполняется тождество
/ + Р —хХ = сопз!.	(7.39)

Обобщение преобразования Лежандра на операторы заключает­ ся в замене обычной производной функциональной производной. Пусть задан скалярный оператор Ж {е}:

7}Ж{е,йе} = (Гцбеу,	аж
	(7.40)

Ставим в соответствие оператору Ж, т.е. потенциалу деформа­ ции, оператор й>{<т), который назовем потенциалом напряжений, причем

Ш + й — <гцец = сопз!.

(7-42)

Заметим, что если й>(0) = 0 и Й^(0) = 0, то константа в правой части (7.42) равна нулю. Итак, операторное преобразование Ле­ жандра ставит в соответствие потенциалу деформации потенциал напряжения. Можно ввести и оператор потенциальной энергии напряжения Ф аналогично введенному оператору потенциальной энергии деформации (7.7):

Ф = ^ й (IV,	Г)ф{<г,&г} = ^	(IV.	(7-43)
V	V

Заметим, что последнее выражение (7.41) предполагает потенци­ альность оператора О (4.60):

=

(7-44)

и, кроме того, разрешимость уравнений (7.28) в виде (7.44). Таким образом, мы можем сформулировать статическую (квазистатическую) задачу в МД Т Т В напряжениях. Она заключается в решении уравнений равновесия (7.26) и уравнений совместности, которые можно благодаря определяющим соотношениям (7.44) записать в напряжениях:

^Ш^тпЁ4п,1т{^} = 0

(7.45)

при удовлетворении граничным условиям (7.29).

Итак, задача в перемещениях записывается соотношениями

(7.26)	, (7.27), (7.28), (7.29), а задача в напряжениях соотношениями
(7.26)	, (7.45), (7.44), (7.29).
Построим теперь для задачи (7.26)-(7.29) так называемый кас-
тильяниан
	К = - Ф + А х,,	(7.46)

где слагаемые правой части определяются формулами (7.43) и (7.21).

Вариационный принцип Кастильяно (теорема Кастильяно) зак­ лючается в следующем. Из всех статически допустимых систем действительная система выделяется тем, что для нее и только для нее кастильяниан (7.46) имеет стационарное значение, т.е.

И Ц а , 6 *} = 0,

(7.47)

или с использованием определения дифференциала оператора (3.13) и соотношения (7.43)

^ ецбацАУ = { б а ц ^ А Л :

V 2?!

Под 6а м ож но понимать разность двух статически допустимых систем.

Необходимость требования следует из тождества (7.19), в ко­ тором следует положить

Р = 0, 1>г = Щ , а ц = б а ц

и учесть, что бац — разность статически допустимых систем. Чтобы показать достаточность условия (7.47), заметим, что

оно выражает условный экстремум, ибо должны удовлетворять­ ся еще уравнения (7.26) и граничные условия (7.29/7). Поэтому

введем систему функций х^ (ж ), 5 € V и *Р^(у),		у € Ег (обоб­
щенные множители Лагранжа). Построим оператор
1 = К - I	+ рР-) А У - I хр(ацт ц - 89)	АП.	(7.48)

Применяя к выражению / х ^ а ц ^ АУ формулу Остроградского-

V

Гаусса
!	а ау = ^ х^огцП] АП			(7.49)
		Е
получим из	(7.48)
Л /(е , бац) = I		[-е.у + \{х(^		+ х#>)1 бац АУ+
	V			*
+ 1	бац тц(«? -	х р ) АН - !	бац щ (х$У) + х Р>) <ЙЗ. (7.50)
21
Отсюда в силу произвольности бац			получим

(7.51)

Значит, существует единственное поле «множителей Лагранжа»

Для того чтобы Существовало непрерывное поле н (х ), как следу­ ет из первого соотношения (7.51) и § 1, необходимо выполнение условий совместности деформаций ( 1 .22), которые в силу опре­ деляющих соотношений (7.44) можно записать в напряжениях в виде (7.45). Следовательно, вектор й имеет смысл вектора пе­ ремещения и и второе условие (7.51) определяет кинематические граничные условия.

Итак, при формулировке вариационного принципа Кастильяно (7.46), (7.47) мы требуем выполнения уравнений равновесия (7.26), определяющих соотношений (7.44) и статических гранич­ ных условий (7.29//), а из условия стационарности (7.47) следуют уравнения совместности (7.45) и кинематические граничные ус­ ловия (7.29*).

Можно сформулировать вариационный принцип, более общий, чем принцип Лагранжа. Назовем его обобщенным принципом Рейсснера.

Запишем оператор Х\

(7.53)

где под символом а подразумевается совокупность величин и, е, <т. Обобщенный принцип Рейсснера формулируется так. И з всех кинематических, статических систем и систем, описываемых тен­ зором е(х ), действительная выделяется тем, что для нее оператор (7.53) имеет стационарное значение, т.е.

«ЙГ{д,«д} = 0.

(7.54)

В самом деле, воспользовавшись определением дифференциала оператора (3.13) и теоремой О строградского-Гаусса, получим

!» < * ,« • } = / [ ( § “	» « ) * « -
V
~	- («уд +/>7г. ж | (IV -

— ^ («, - « ? ) п ^ 0- <п: + ^ (<Гуп, - 3°)6щ « с ,